Linear Algebra – Lesson 9. 线性相关性, 基, 维数

Schedule

  • Linear independence
  • Spanning a space
  • Basis and Dimension
    该章节中说到的无关性和张成空间均指的是向量组而非矩阵.

Independence – 线性无关性

假设A是一个m\times n的矩阵(m<n)(即A是一个长方形矩阵),那么对于Ax=0来说一定有非零解,这是因为一定存在自由变量.

Suppose A is m\times n with m<n, then there are nonzero solutions to Ax=0 (more unknowns than equations).
The reason why there is solution is there will be free variables.

什么时候向量x_1,x_2,…x_n是线性无关的?

When vectors x_1,x_2,…x_n are independent?

除了系数全为零之外, 如果存在一种组合, 使得结果为零向量, 那么它们是线性相关的.
反之,如果不存在结果为零向量的组合, 则向量组线性无关.
c_1x_1 + c_2x_2 + … + c_nx_n \ne 0 除非 all\phantom{1}c_i=0

从而可以得出, 零向量和任意向量均相关.
所以如果向量组中有一个零向量,那么该向量组必定相关.

那么对于位于同一平面内的三个非零向量v_1,v_2,v_3,它们是否一定线性相关呢? 答案是肯定的.
理由是由v_1,v_2,v_3组成的向量组经过消元后必定有自由变量,所以肯定有非零解.
假设该向量组为A=[v_1,v_2,v_3]=\begin{bmatrix}2&1&2.5\1&2&-1.5\end{bmatrix},那么对于Ac=0A的零空间存在非零组合,则向量组相关.

When v_1,v_2,…v_n are columns of A:

  • They are independent if the null-space of A is only zero vector \rightarrow (r=n).
  • Then are dependent if Ac=0 for some non-zero c \rightarrow (r<n).

当向量组(n个列向量)线性无关时,则由向量组构成的矩阵秩为n, 所有的列均为主列, 这是因为自由列的实质是主列的线性组合.

Spanning – 张成

向量v_1,…v_l张成一个空间意味着这个空间由这些向量的线性组合构成.

Vectors v_1,…v_l span a space means the space consists of all combinations of those vectors.

而构成空间的基则需满足另一个条件: 线性无关
Basis for a space is a sequence of vectors v_1,v_2,…v_d that has two properties:

  • they are independent.
  • they span the space.

Example:
Space is R^3.
其中的一个基是\begin{bmatrix}1\0\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\1\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\0\1\end{bmatrix}.
这并不是唯一的一个基,还有其他的基类似于\begin{bmatrix}1\1\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\3\5\end{bmatrix},\begin{bmatrix}3\3\8\end{bmatrix}.

For R^n, n vectors give basis if the n\times n matrix with those columns is invertible.

对于给定的空间,其每个基包含的向量个数是一样的,而这个个数也被称为该空间的维度.

Given a space, every basis for the space has the same number of vectors and this number is the dimension of the space.

总结一下:

Independence, that looks at combinations not being zero.
Spanning, that looks at all the combinations.
Basis, that’s the one that combines independences and spanning.
Dimension, the number of vectors in any basis.

Example:
Space is C(A) = \begin{bmatrix}1&2&3&1\1&1&2&1\1&2&3&1\end{bmatrix}
2 = rank(A) = # pivot columns = dimension of C(A)
这里需要注意的是,2是A的列空间的维数,而不是A的维数,这是因为A是一个矩阵(或列向量组),但是维数是建立在空间的基础上的.
同样的,秩是建立在矩阵的基础上,在空间中没有秩的概念.
dimC(A) = r
dimN(A) = n-r = \text{# free variables}

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