Linear Algebra – Lesson 8. 求解Ax=b: 可解性和解的结构

Schedule

  • Complete solution of Ax=b
  • Rank r
  • $r=m$ : Solution & Exists
  • $r=n$ : Solution is Unique

Complete solution of Ax=b

以上节课中的例子为例,方程式组如下:
x_1+2x_2 +2x_3+2x_4 = b_1\2x_1+4x_2+6x_3+8x_4=b_2\3x_1+6x_2+8x_3+10x_4=b_3
方程式组的增广矩阵如下,经过消元后得到:
Argumented Matrix = [A |b]=\begin{bmatrix}\fbox1&2&2&2&b_1\2&4&6&8&b_2\3&6&8&10&b_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\fbox1&2&2&2&b_1\0&0&\fbox2&4&b_2-2b_1\0&0&2&4&b_3-3b_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\fbox1&2&2&2&b_1\0&0&\fbox2&4&b_2-2b_1\0&0&0&0&b_3-b_2-b_1 \end{bmatrix}
可以看出,如果方程式组有解的话,行三必须得到满足,即b_3-b_2-b_1=0

假设取b=\begin{bmatrix}1\5\6\end{bmatrix},可以将原增广矩阵转换为:
Argumented Matrix = [A |b]=\begin{bmatrix}\fbox1&2&2&2&1\0&0&\fbox2&4&3\0&0&0&0&0\end{bmatrix}
这样的话,行三的方程组可以得到解. 那么什么样的b可以满足方程式组?

Solvability is the condition on b.

可解性指的是b满足什么条件,才能使得Ax=b始终有解.

Ax=b is solvable if when exactly when b is in the column space of A.

The same combination of the entries of b must give 0(not zero row, but number 0).

以上两种描述是等价的,均为描述方程组有解的条件.

Question Mark Here:
这里一直不明白的问题是,为什么b属于A的列空间或者b满足A的线性组合就可以说方程式组有解?
以上述例子为例,即使满足行三方程式, 那么行一和行二就一定会满足么?
实际上是的,因为在上节课中Ax=0的学习中可以知道,自由列的值变化,不影响解.
所以在增广矩阵经过行消元后得到的矩阵中,如果行三,也就是零行得到满足,则剩余其他非零行可以通过自由变量赋值0从而求得特定解.

Find complete solution to Ax=b – 求Ax=b的所有解

在确定有解后,该怎么求解?
Step one : A particular solution.

Set all free variable to zero and then solve Ax=b for pivot variables.

之前的例子中可以将x_2x_4设置为0(自由变量),可以回代 求得x_1=-2, x_3=1.5,从而求得一个特解(particular solution).
x_{\text{particular solution}} = \begin{bmatrix}-2\0\1.5\0\end{bmatrix}

Step two : add on X anything out of the null space.
Step three : 从而求得x=x_p+ x_n

The complete solution is the one particular solution plus any vector out of the null space.

Ax_p = bAx_n=0 两者相加,同样得到A(x_p+x_n)=b
对于方程组某解,其与零空间内任意向量之和仍为解.
x_{complete} =\begin{bmatrix}-2\0\1.5\0\end{bmatrix} + c_1\begin{bmatrix}-2\1\0\0\end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix}2\0\-2 \1\end{bmatrix}
x_p是一个特定解,x_n是整个零空间,
注: 零空间的一组基向量,即教授所说的这些特殊解,往往也称为基础解系
Ax=b特解表示为particular solution(特定解), Ax=0基为special solution(特殊解).

$m\times n$ matrix $A$ of rank $r$ – 秩为$r$的$m\times n$矩阵

可以得出rm之间初步的关系是r\le m, 因为主元的个数不会超过行的个数.同样,r\le n.

对于满秩的情况,需要分为如下几个情况考虑:

  1. Full column rank means r=n\lt m
    这种情况下每列均有一个主元,从而没有自由变量. 这样的话零空间中将会只有零向量.
    那么对于Ax=b来说,其全部解为特解x_p一个(如果有解的话), 将其称为unique solution(唯一解).
    也就是说,对于r=n的情况下,其解的情况为0或者1个解(特定解).
    举个例子:

  2. Full row rank means r=m\lt n
    这种情况下每行均有一个主元,自由变量数为n-r个.
    因为在消元过程中没有产生零行,所以求解Ax=b对于b来说没有要求(Can solve Ax=b for every right-hand side),所以必然有解.
    举个例子(上个例子的转置):

    A=\begin{bmatrix}1&2&6&5\3&1&1&1\end{bmatrix}(r=2)\rightarrow R= \begin{bmatrix}1&2&6&5\0&-5&-17&-14\end{bmatrix}

  3. $r=m=n$
    零空间中只有零向量.
    举个例子:
    A=\begin{bmatrix}1&2\3&1\end{bmatrix}\rightarrow R= I
    必然有解,唯一解.

总结如下
r=m=n\rightarrow R=I\rightarrow 1 solution(特定解)
r=n\lt m\rightarrow R=I/0\rightarrow 0 or 1 solution(特定解)
r=m\lt n\rightarrow R=[I|F]\rightarrow 1 or infinitely many solutions(特定解或特定解和零向量空间的组合)
r\lt m,r\lt n\rightarrow 0 or infinitely many solutions(特定解和零向量空间的组合)

The rand tells everything about the number of solutions .

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