Linear Algebra – Lesson 7. 求解Ax=0: 主变量,特解

Schedule

  • Computing the null-space (Ax=0)
  • Pivot variable with Free variable
  • Special Solutions — rref(A)=R
    这章主要讨论的是长方矩阵(rectangular matrix)

Computing the Nullspace – 计算零空间

假设有矩阵A,如下所示:
A=\begin{bmatrix}1&2&2&2\2&4&6&8\3&6&8&10\end{bmatrix}
可以看出列二是列一的倍数,所以它们是相关的.
同样,行三是行一和行二的和,所以它们也是相关的.

在消元的过程中,可能会出现主元位置元素为零的情况.

在消元的过程中,零空间不会改变.这是因为在消元的过程中,一行加上另一行的倍数不会改变解,因此零空间也不会变(也是因为b全部为零,所以解不会变).实际上,改变的是列空间.

消元步骤如下:
A=\begin{bmatrix}\fbox1&2&2&2\2&4&6&8\3&6&8&10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&2&2\0&0&2&4\0&0&2&4\end{bmatrix}
这里发现列二主元位置元素为零,且下方没有非零元素,这说明列二相关于前面各列.继续进行消元.
A=\begin{bmatrix}\fbox1&2&2&2\2&4&6&8\3&6&8&10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\fbox1&2&2&2\0&0&\fbox2&4\0&0&2&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\fbox1&2&2&2\0&0&\fbox2&4\0&0&0&0\end{bmatrix}=U
这里,我们得到了矩阵的阶梯形式(echelon form),非零元素以一种阶梯形式出现.

矩阵中非零主元的数被称为矩阵的秩(rank).

Rank of A = # of pivots

消元至此,我们从求解Ax=0转换成求解Ux=0,在转换过程中解不变,零空间不变.

主元所在的列被称为主列,其余的列被称为自由列.

被称为自由列的原因是因为在求解Ux=0的过程中,x_2,x_4可以被赋予任意值而不影响求解,最后求解x_1,x_3即可.

这里因为自由列共有两列,所以需要对不同的自由变量进行赋值.
假设将x_2,x_4进行赋值,x_2=1,x_4=0,求得x_1=-2,x_3=0;
假设将x_2,x_4进行赋值,x_2=0,x_4=1,求得x_1=2,x_3=-2.

从而求得两个特殊解(special solutions):
\begin{bmatrix}-2\1\0\0\end{bmatrix} 和 \begin{bmatrix}2\0\-2\1\end{bmatrix}
被称为特殊解是因为在于给自由变量分配的特定值.

通过特殊解的线性组合可以得到零空间,即x=c\begin{bmatrix}-2\1\0\0\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}2\0\-2\1\end{bmatrix}

零空间所包含的正好是特解的线性组合.

The null space contains exactly all the combinations of the special solutions.

每个自由变量均对应一个特殊解.

There is one special solution for every free variable.

如果m\times n的矩阵有r个主元,那么共有n-r个自由变量,也就是有n-r个特殊解.

R = reduced row echelon form
U=\begin{bmatrix}\fbox1&2&2&2\0&0&\fbox2&4\0&0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\fbox1&2&0&-2\0&0&\fbox2&4\0&0&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\fbox1&2&2&2\0&0&\fbox1&2\0&0&0&0\end{bmatrix}=R=rref(A)

注意到在主行和主列上的元素可以组成一个单位阵.

notice \begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix} = I in pivot rows and pivot column.

rref(A)中的全零行表示该行原为其他行的线性组合,可以被消元过程中去除.

所以R所代表的方程式组为:
x_1+2x_2-2x_4=0\\x_3+2x_4=0
对于所有的主列来说,系数矩阵为I=\begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}
对于所有的自由列来说,系数矩阵为F=\begin{bmatrix}2&-2\0&2\end{bmatrix}


$rref$ – 简化行阶梯形式

典型的简化行阶梯形式如下:
R=\begin{bmatrix}I&F\0&0\end{bmatrix}

如何一次求出满足Rx=0的所有特殊解?

通过构造零空间矩阵$N$(nullspace matrix)可以做到,即$RN=0$.

N = \text{null-space matrix(columns of special solutions)}=\begin{bmatrix}-F\I\end{bmatrix}

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