Linear Algebra – Lesson 6. 列空间和零空间

Schedule

  • Vector spaces and Subspaces
  • Column space of A : Solving Ax=b
  • Nullspace of A

Vector space requirements – 向量空间满足条件

v+w and c*v are in the space. 满足相加和数乘.
All combs cv+dw are in the space. 满足相加和数乘的线性组合.

常见的三维空间R^3中,可以看出,通过原点的直线和平面都可以构成一个子空间.

那么对于两个子空间,P(通过原点的平面)和L(通过原点的直线),它们之间的组合会不会构成子空间? 即 P \cup L=all vectors in P or L or both.
对于上述举的例子,很容易证明其并非是一个子空间,理由很简单,直线上任意的一个向量和平面上任意的一个向量的线性组合(例如加法)未必一定在两个子空间的并集上, 有可能会在平面和直线之外的空间中.

那么对于P \cap L= all vectors in both P and L是否构成一个子空间呢?
针对例子中的直线和平面,可以看出其交集为原点, 只有原点的空间是一个子空间.
如果不是例子中特定的过原点的直线和平面,则其交集并不一定为原点, 那么其交集则未必能够形成空间.

推广开来,任意两子空间的交集会是子空间么?
答案是肯定的.这是因为对于子空间ST来说,其包含的向量均满足数乘和加法. 那么对于同时属于这两个子空间的向量集来说, 也一定是满足数乘和加法的.

To subspaces S and T, intersection S \cap T is a subspace.

向量空间必须满足的两个条件:
1. 加法(Sum)封闭
2. 数乘(Scale of Multiplication)封闭


Column space of a matrix AA的列空间

假设存在矩阵A如下,列向量均为四维空间R^4中的向量,所以A的列空间是R^4的子空间,记作C(A),由A中各列的线性组合构成.
A=\begin{bmatrix}1&1&2\2&1&3\3&1&4\4&1&5\end{bmatrix}

Column space of A is subspace of R^4, which is all linear combs of columns of A.

那么A的列空间有多大? 它是否等同于整个四维空间R^4? 还是四维空间的一个子空间? 这就需要进行求解.

A的列空间与线性方程式组联系起来.

Does Ax=b have a solution for every b ?

由上述问题衍生出的另一个问题是, 什么样的b使方程组有解?

Which b allow this system to be solved ?

对于例子中的A,可以看出,其共有四个方程组,但是只有三个未知数.
Ax=\begin{bmatrix}1&1&2\2&1&3\3&1&4\4&1&5\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\b_2\b_3\b_4\end{bmatrix}=b

只有当bA中各列的线性组合时,Ax=b才有解.

Can solve Ax=b exactly when b is in C(A).

回到A, 这三个列向量线性无关么? 如果用这三列进行线性组合, 是否每一列都对组合有贡献?线性组合最终得到的结果会是三维空间么? 换句话说,能否去掉某列,列空间不变?

例子中我们可以看出,列三是列一和列二的和, 我们将列一,列二称为主列(pivot column),列三处在前两列组成的平面上.

所以这里矩阵的列空间可以描述为四维空间中的二维子空间.


Null space – 零空间

Null space of A is N(A) contains all solutions x=\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\end{bmatrix} to the equation Ax=0.
Ax=\begin{bmatrix}1&1&2\2&1&3\3&1&4\4&1&5\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\0\0\0\end{bmatrix}=0
零空间关注的是x,可以得出x属于R^3,而列空间属于R^4.

无论什么矩阵,其零空间必然包含0.

通过求解,可以看出线性组合c=\begin{bmatrix}1\1\-1\end{bmatrix}可以满足Ax=0, 其表现为R^3中过原点的一条直线.

同样,可以很简单的得到:

The solutions to Ax=0 always give a subspace.

这是因为零空间中的向量满足加法和数乘的封闭性(这个比较简单,就不赘述了).

求解非零b的解又是什么情况呢? 假设存在如下关系:
Ax=\begin{bmatrix}1&1&2\2&1&3\3&1&4\4&1&5\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\2\3\4\end{bmatrix}=b

如果有解,那么它们是否构成子空间? 答案是否定的, 原因是因为解中不包含0.
例子中满足条件的解有\begin{bmatrix}1\0\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\-1\1\end{bmatrix}(当然不止这两个).解有很多个,但它们构成的是一个不穿过原点的直线. 所以这些解并不能构成空间.

构建子空间的方法:

  1. 可以从几个向量,通过线性组合的方式得到子空间;
    Given a few vectors and fill it out, take combinations;
  2. 可以从一个方程式组中,通过让x满足特定条件来得到子空间.
    Given a system of equations the requirements that the x-s have to satisfy.

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