Linear Algebra – Lesson 5. 转置,置换,向量空间R

Schedule

  • PA=LU
  • Vector Spaces and Subspaces

Permutations – 置换矩阵

Permutations P : execute row exchanges.

置换矩阵 P : 用来完成行互换的矩阵.

对于可逆矩阵A,我们需要求解Ax=b.求解过程中,如果遇到0出现在主元位置上,则需要将其移走,从而得到非零主元,这就需要用到行互换.

之前章节中提到的A=LU分解中,是在没有行互换的假设下进行的.
那么如果存在行互换,该分解又该用什么样的形式表现?
解决方法是PA=LU. 该描述概括了包含行互换的消元,即将A=LU.

置换矩阵是行重新排列的单位矩阵.
Permutations P is the identity matrix with reordered rows.

对于n维矩阵,其共有n!=n(n-1)\cdots(3)(2)(1)个置换矩阵,并且对每个P,均有P^{-1}P^T,也可以写成P^TP=I


Transpose – 转置矩阵

假设有矩阵\begin{bmatrix}1&3\2&3\4&1\end{bmatrix},那么其转置矩阵将是\begin{bmatrix}1&2&4\3&3&1\end{bmatrix}.

$A^T$中第$i$行第$j$列的元素等于$A$中第$j$行第$i$列的元素,即$(A^T){ij}=A{ji}$.


Symmetric Matrix – 对称矩阵

对称矩阵,也就是说对于矩阵A,其转置等于其自身A^T=A.
对于任意矩阵R,R^TR都是对称的.
e.g.
\begin{bmatrix}1&3\2&3\4&1\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}1&2&4\3&3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10&11&7\11&13&11\7&11&17\end{bmatrix}

如何证明?
对其尝试进行转置!
(R^TR)^T=R^T(R^T)^T=R^TR


Vector Spaces – 向量空间

空间表示有很多向量,但并不是任意向量的组合都能成为空间. 空间必须满足一定的运算条件,即必须满足能够进行加法和数乘运算.
e.g.
R^2=\text{all 2-dim real vectors} = \text{x-y plane}, 例如: \begin{bmatrix}3\2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}\pi\e\end{bmatrix}
R^3= \text{all vectors with 3 components}, 例如:\begin{bmatrix}3\2\0\end{bmatrix}
R^n= \text{all column with n(n is real number) components}

加法和数乘共需满足8条运算规则.

举一个不是向量空间的例子: 对于二维空间中的第一象限, 将其看做一个空间, 那么这个空间是一个向量空间么?
通过简单的数乘,可以将第一象限中的向量转换为其他象限中的向量,所以第一象限组成的空间对于实数的数乘并不封闭,因此它并不是一个向量空间.

向量空间必须对数乘和加法两种运算是封闭的.
A vector space has to be closed under multiplication and addition of vectors. In other words, linear combinations.

再举一个空间例子,使其是R^2的一部分,但是满足加法和数乘的封闭性,那么该直线是R^2的子空间么? 例如,一条过原点的直线?

并非R^2中所有的直线均是子空间. 可以简单的查验, 对于不过原点的直线,无法满足简单的加法A-A=0.

也就是说,0点必须在直线上,否则不能构成子空间.

对于R^2来说,R^2的子空间有哪些?

  1. all vectors of R^2 所有的二维向量
  2. any line through \begin{bmatrix}0\0\end{bmatrix} 任意过原点的直线
  3. zero vector(零向量), Z=\begin{bmatrix}0\0\end{bmatrix} 仅含零向量的空间
    同理,R^3的子空间有:
  4. all vectors of R^3 所有的三维空间
  5. any plane through \begin{bmatrix}0\0\0\end{bmatrix} 任意过原点的平面
  6. any line through \begin{bmatrix}0\0\0\end{bmatrix} 任意过原点的直线
  7. zero vector(零向量), Z=\begin{bmatrix}0\0\0\end{bmatrix} 仅含零向量的空间

Subspace – 如何构造子空间?

如何从矩阵中构造一个子空间?
一种方法是通过列向量构造.
A=\begin{bmatrix}1&3\2&3\4&1\end{bmatrix}
观察A中的各列向量,各列均属于R^3.
如果用这些列来构造R^3的子空间, 那么除了这些之外,还需要什么才能构成子空间?

所有的列向量的线性组合构成一个子空间.
All these linear combinations form a subspace.

这样形成的空间被称为列空间(column space), 记作C(A)

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