Linear Algebra – Lesson 10. 四个基本子空间

Schedule

  • Four fundamental subspaces (for matrix A)

4 Subspaces – 4个子空间

假定A为m\times n的矩阵, 与其相关有如下四个子空间:

  • $C(A)$ : column-space
  • $N(A)$ : null-space
  • $C(A^T)$ : row-space = all combs of rows = all combs of columns of $A^T$
  • $N(A^T)$ : null-space of $A^T$ = left null space of $A$

N(A)中包含的是n维向量,且是Ax=0的解. 所以N(A)是在R^n中的.
C(A)是在R^m中,C(A^T)R^n中,N(A^T)R^m

4 Subspaces

分别对这四个子空间进行求解基和维.

  • $C(A)$ 列空间
    列空间的维度$\dim C(A) = r$
    $C(A)$中的一组基是所有主列.

  • $C(A^T)$ 行空间
    行空间的维度$\dim C(A^T) = r$

  • $N(A)$ 零空间
    $N(A)$中的一组基是特殊解们,共有$(n-r)$个特殊解,所以$\dim N(A)=n-r$

  • $N(A^T)$ 左零空间
    左零空间的维数是$m-r$

可以看出,在n维空间R^n中存在两个子空间,一个是r维的行空间,另一个是n-r维的零空间, 两个空间的维数和为n.
同样的,在m维空间R^m中,存在两个子空间,一个是r维的列空间,另一个是m-r维的左零空间,两个空间的维数和为m.

Example:
A=\begin{bmatrix}1&2&3&1\1&1&2&1\1&2&3&1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&1&1\0&1&1&0\0&0&0&0\end{bmatrix}=R
矩阵A在经过消元和行变换之后得到R, 可以看出C(R)\ne C(A),但是有相同的行空间(row space).
AR的行空间的基是R中的非零r行.

Basis of row space is the r rows of R.

行空间没有发生变化的原因是因为在消元和行变化的过程中,发生变化的是行与行之间的加减和数乘,这可以理解为原来同处于同一空间内的两个向量的线性组合仍处于同一空间.

为什么这个基(R的非零r行)的张成空间是行空间?也就是为什么矩阵A的各行是这些行的线性组合?
这是因为通过各行消元的逆操作,可以从R逆向推导出A.

$N(A^T)$为什么叫左零空间?
假设左零空间中的向量为y, 则A^Ty=0. 同时对等式两边进行转置, 得到y^tA^{TT}=0^T,也就是y^TA=0, 因为y^T在A的左边,所以叫左零空间.

如何求解左零空间?
Guass-Jordan 方法
[A_{m\times n} I_{m\times m}] \rightarrow [R_{m\times n}E_{m\times m}]
在第二章中我们提到过通过Guass-Jordan方法获取A的逆(如果A可逆的话), 只不过那时对应R的是单位矩阵I.而在这里A因为是m\times n的长方形矩阵,所以不可逆.
求出E是为了求解左零空间的基和维数.

New vector space – 新的向量空间

对于所有3\times 3的矩阵, 将矩阵看做”向量”, 每个3\times 3的矩阵都是一个”向量”.
为什么可以这么做? 这是因为同样的3\times 3的矩阵都可以互相相加, 也可以进行数乘, 同样也可以进行线性组合, 也存在某个线性组合的结果为零矩阵, 所以可以在一定程度上将这些矩阵看做”向量空间”.
M来表示由所有3\times 3矩阵组成的矩阵”空间”
这像是把R^n的概念延伸到了R^{n*n}, 在这个空间里仍然可以进行相加和数乘(忽略矩阵可以相乘的性质).

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