第六章 样本及抽样分布

P 128 ~ 147 正文
P 147 ~ 148 习题

1. 随机样本

总体 : 试验的全部可能的观察值称为总体.
个体 : 每一个可能观察值称为个体.
总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.
容量为有限的称为有限总体, 容量为无限的称为无限总体.

总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值, 因此它是某一随机变量X的值, 这样一个总体对应于一个随机变量X.
X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.

通过总体中抽取的一部分个体, 根据获得的数据来对总体分布作出推断.
被抽出的部分个体叫做总体的一个样本.

从总体抽取一个个体, 就是对总体X进行一次观察并记录其结果. 在相同条件下对总体X进行n次重复的, 独立的观察, 将n次观察结果按次序记为X_1,X_2,cdots,X_n. 由于X_1,X_2,cdots,X_n是对随机变量X官产的结果, 且各次观察都是在相同的条件下独立进行的, 所以有理由认为X_1,X_2,cdots,X_n是相互独立的, 且都是与X具有相同分布的随机变量. 这样得到的X_1,X_2,cdots,X_n称为来自总体X的一个简单随机样本,n称为这个样本的容量.

当n次观察一经完成, 我们就得到一组实数x_1,x_2,cdots,x_n, 它们依次是随机变量X_1,X_2,cdots,X_n的观察值, 称为样本值.

Tips :
x_1,x_2,cdots,x_n 和x_1,x_2,cdots,x_n不一样. x_1,x_2,cdots,x_n是观察值,是具体的数值, 而x_1,x_2,cdots,x_n是独立同分布的随机变量.
随机样本指的是一系列独立同分布的随机变量, 样本值指的是经过n次观察, 这些变量经过观察得到的值.

定义:
设X是具有分布函数F的随机变量, 若X_1,X_2,cdots,X_n是具有同一分布函数F的, 相互独立的随机变量, 则称X_1,X_2,cdots,X_n为从分布函数F(或总体F, 或总体X)得到的容量为n的简单随机样本, 简称样本, 它们的观察值称为样本值, 又称为X的n个独立的观察值.

由定义得 :
X_1,X_2,cdots,X_n为F的一个样本, 则X_1,X_2,cdots,X_n相互独立, 且它们的分布函数都是F, 所以( X_1,X_2,cdots,X_n ) 的分布函数为 F^*(x_1, x_2, cdots, x_n) = sum_{i=1}^{n}F(x_i)

若X具有概率密度f, 则X_1,X_2,cdots,X_n的概率密度为 f^*(x_1, x_2, cdots, x_n) = sum_{i=1}^{n}f(x_i)

2. 直方图和箱形图

3. 抽样分布

经验分布函数 : 设X_1,X_2,cdots,X_n是总体F的一个样本, 用S(x), -infi 表示 X_1,X_2,cdots,X_n中不大于x的随机变量的个数. 定义经验分布函数 F_n(x) 为: F_n(x) = 1n S(x), -infi

3.1 chi^2分布(卡方分布)

X_1,X_2,\cdots,X_n 是来自总体 N(0,1) 的样本, 则称统计量 chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + cdots + X_n^2 服从自由度为nchi^2分布, 记为chi^2\text{\textasciitilde}chi^2(n).
此处, 自由度是指上述等式右端包含的独立变量的个数.

chi^2(n) 分布的概率密度为 f(y) =

$chi^2$分布的可加性
chi_1^2text{textasciitilde}chi^2(n_1),chi_2^2text{textasciitilde}chi^2(n_2), 并且chi_1^2,chi_2^2相互独立, 则有 chi_1^2 + chi_2^2 text{textasciitilde} chi^2(n_1 + n_2)

$chi^2分布的分位点$
对于给定的正数a, 0<a<1, 称满足条件 P lbrace chi^2 > chi_a^2(n) rbrace = int_{chi_a^2(n)}^infty f(y)dy = alpha的点 chi_alpha^2(n)chi^2(n)分布的上alpha分位点.

3.2 t分布

Xtext{textasciitilde}N(0,1),Ytext{textasciitilde}chi^2(n),且$$

3.3 F分布

3.4 正态总体的样本均值和样本方差的分布

定理一
定理二
定理三
定理四

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