第三章 多维随机变量及其分布

P60 ~ 84 正文
P84 ~ 89 习题

1. 二维随机变量

设E是一个随机试验, 它的样本空间是S=\lbrace e \rbrace, 设X=X(e)Y=Y(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个向量(X,Y)叫做二维随机变量(二维随机向量).

定义

(X,Y)是二维随机变量, 对于任意实数x,y, 二元函数: F(x,y)=P \lbrace \rbrace \stackrel{记成}{=} P\lbrace X \leqslant x, Y \leqslant y\rbrace 称为二维随机变量(X,Y)分布函数, 或称为随机变量XY联合分布函数.

分布函数(X,Y)具有以下基本性质:
1. F(x,y)是变量xy的不减函数, 即对于任意固定的y, 当x_2 \gt x_1F(x_2,y) \ge F(x_1,y); 对于任意固定的x, 当y_2 \gt y_1F(y_2,x) \ge F(y_1,x).
2. 0 \le F(x,y) \le 1, 且
3. F(x+0,y) = F(x,y), F(x,y+0) = F(x,y), 即F(x,y)关于x右连续, 关于y也右连续.
4. 对于任意 (x_1,y_1),(x_2,y_2), x_1, 下述不等式成立:F(x_2,y_2) – F(x_2,y_1) + F(x_1,y_1) – F(x_1,y_2) \geqslant 0

如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的值是有限对或者可列无限对, 则称(X,Y)离散型的随机变量.
设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(x_i,y_j),i,j=1,2,\cdots,记P\lbrace X=x_i, Y=y_j \rbrace = p_{ij},i,j=1,2,\cdots, 则由概率的定义有 p_{ij} \ge 0, \sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty = 1

分布函数 联合分布函数

分布函数的性质

离散型的随机变量
分布律(联合分布律)

连续性的二维随机变量 联合概率密度

设E是一个随机试验, 它的样本空间S=\lbrace e \rbrace, 设X_1=X_1(e), X_2=X_2(e), \cdots, X_n=X_n(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个n维向量(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 叫做 n维随机变量n维随机变量.

2. 边缘分布

二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.

边缘概率密度

**已知关于X,Y的边缘分布, 是否可以确定随机变量X,Y的联合分布? **

二维正态分布

二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布, 且都不依赖于参数p, 亦即对于给定的\mu_1,\mu_2,\sigma_1,\sigma_2, 不同的p对应不同的二维正太分布,但它们的边缘分布却都是一样的. 这一事实表明, 单由关于X和关于Y的边缘分布, 一般来说不能确定随机变量X和Y的联合分布.

3. 条件分布

定义

(X,Y)是二维离散型随机变量, 对于固定的j, 若P\lbrace Y=y_j \rbrace > 0, 则称 P\lbrace X = x_i | Y = y_j \rbrace = \frac{P \lbrace X=x_i, Y=y_j \rbrace}{P \lbrace Y = y_j \rbrace} = \frac{p_{ij}}{p_{\dot j}}, i = 1,2,\cdotsY=y_j条件下随机变量X的条件分布律.
条件分布律

4. 相互独立的随机变量

5. 两个随机变量的函数的分布

5.1 Z=X+Y的分布

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.

Beta分布 \Gamma

5.2 Z=\frac{Y}{X}的分布, Z=XY的分布

5.3 M=max\lbrace X,y \rbraceN=min\lbrace X,y \rbrace的分布

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