第二章 随机变量及其分布

P30 – 54 正文
P55 – 59 习题

1. 随机变量

实值单值函数
随机变量

2. 离散型随机变量及其分布律

离散型随机变量X的分布律

三种重要的离散型随机变量

2.1 0-1 分布

定义

设随机变量X只可能取0与1两个值, 它的分布律是\tag{1} P\lbrace X=k \rbrace = p^k(1-p)^{1-k}, k=0,1 (0 则称 X 服从以p为参数的(0-1)分布或两点分布

2.2 Bernoulli分布(伯努利分布, 二项分布)

定义

设试验 E 只有两个结果: A\overline{A}, 则称 E伯努利(Bernoulli)试验.

P(A) = p ( 0, 此时 P(\overline{A}) = 1-p. 将 E 独立重复的进行 n 次, 则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.

Tips : 伯努利分布和0-1分布的区别
区别在于0-1分布的取值只可能是0或者1, 而伯努利分布的取值是按照试验的结果来进行划分, 也就是说, 可以是非1即2, 非3即4, 只要可以用 A\overline{A} 来表示两个结果即可, 并不一定非要是非0即1.

n=1时, Bernoulli分布变为0-1分布

随着k从0到n, 概率值先增大后减小. 对于固定的n和p, 二项分布满足这一性质.(未证明)

2.3 Poisson分布(泊松分布)

3. 随机变量的分布函数

分布函数
分布函数的性质:
1. 不减性
2. 大于等于0, 小于等于1
3. F(x) 右连续
补充: 分布函数是用来描述概率随着变量发生变化的趋势, 因此可以用变量的区间来描述不同变量组合发生情况下的概率是多少.

4. 连续性随机变量及其概率密度

连续性随机变量
概率密度函数 Probability Density Function
概率密度的性质
非负性
和为1
积分性质
在某点的连续性

对于连续性随机变量X来说, 它取任一制定实数值a的概率均为0,即
证明:

A是不可能事件, 则P(A)=0; 反之, 若P(A)=0, 并不一定意味着A是不可能事件.

4.1 均匀分布 Uniform Distribution

定义

若连续性随机变量X具有概率密度

落在区间(a,b)中任意等长度的子区间内的可能性是相同的, 或者说它落在(a,b)的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关.

4.2 指数分布 Exponential Distribution

无记忆性

4.3 正态分布 Normal Distribution

5. 随机变量的函数的分布

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