Linear Algebra – Lesson 1. 方程组的集合解释

Introduction

课程代码 : MIT 18.06
课程配套教材 : Introduction to Linear Algebra
课程在线网址 : web.mit.edu/18.06
在线网址里有习题和matlab代码等资源.


N linear equations, N unknows – 方程式组和矩阵

方程式组和矩阵之间存在天然的联系. 即方程式组可以用矩阵的形式很优雅的表达出来.

举一个简单的方程式组的例子 :

begin{cases} 2x-y=0 -x+y=3 end{cases}

可以将未知变量的系数看作矩阵的元素,从而将原始方程式组转换为矩阵的形式表达出来 :

begin{bmatrix} 2&-1 \ -1&2 end{bmatrix} * begin{bmatrix} x \ y end{bmatrix} = begin{bmatrix} 0 \ 3 end{bmatrix}

这里,我们将 begin{bmatrix} 2&-1 \ -1&2 end{bmatrix} 看作是矩阵 A , 将 begin{bmatrix} x \ y end{bmatrix} 看作是向量(Vector) X , 那么结果 begin{bmatrix} 0 \ 3 end{bmatrix} 就是向量 b , 从而得出 A*X=b .

矩阵 A ,也被称为 系数矩阵(coefficient matrix).

所以, 正如老师所说,

A matrix is just a rectangular array of numbers.


Row Picture

Row Picture, 也就是从行的角度来考虑矩阵内在的含义.

以上面的方程式组为例,

对于方程式(1) 2x-y=0 可以通过假设 x=0x=1 分别得出 y 的对应值为 y=0y=2 . 即可以以 (0,0)(1,2) 为线上两点确认方程式(1)在 x,y 平面上的直线.

同理可得方程式(2)在平面上所代表的线.

通过图像可以看出, 两条线条交于一点 (1,2) .


Column Picture

从列的角度来看,上述方程式组可以看做 列的线性组合(linear combination of columns) .

x begin{bmatrix} 2 \ -1 end{bmatrix} + y begin{bmatrix} -1 \ 2 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 0 \ 3 end{bmatrix}

现在从二维转换为三维, 有如下方程组:

2x-y=0 \ -x+2y-z=-1 \ -3y+4z=4

同理可以得出对应的矩阵 A 和向量 b :

A=begin{bmatrix}2&-1&0-1&2&-1&-3&4end{bmatrix} b=begin{bmatrix}0-14end{bmatrix} )

同样,从column picture的角度来看上述方程式组,得出:

x begin{bmatrix}2 \ -1 \ 0 end{bmatrix} + ybegin{bmatrix}-1\2-3end{bmatrix}+zbegin{bmatrix}0-1\4end{bmatrix}=begin{bmatrix}0-1\4end{bmatrix}

可以得出一个解为x=0,y=0,z=1

对于上述方程式组,如果b的值变为
begin{bmatrix}1\1-3end{bmatrix}, 则可以得出一个解为x=1,y=1,z=0

以此类推,得出一个问题:

Can I solve Ax=b for every b ?
Or
Do the linear combinations of the columns fill three dimensional space?

即, 是否对于任意的 b , Ax=b 都有解?

对于上述方程式组,如果三个列向量均处在同一平面内, 则无法通过线性组合方式生成不在这个平面内的向量, 那么对于空间内其他不属于此平面的向量就无解.

这种情况被称为奇异(singular case),该矩阵非可逆(not invertible),不是对于所有的 b 都有解.

即 : 奇异不可逆.


Matrix Form – 矩阵形式

矩阵乘以向量的形式(multiply a matrix by a vector) 表达为 Ax=b .
e.g.
begin{bmatrix}2&5\1&3end{bmatrix}*begin{bmatrix}1\2end{bmatrix}

可以将其看作 1个列1 和 2个列 2 相加:
begin{bmatrix}2&5\1&3end{bmatrix}*begin{bmatrix}1\2end{bmatrix} = 1begin{bmatrix}2\1end{bmatrix} + 2begin{bmatrix}5\3end{bmatrix} = begin{bmatrix}12\7end{bmatrix}

也可以通过点乘的方式求解:
begin{bmatrix}2&5\1&3end{bmatrix}_begin{bmatrix}1\2end{bmatrix} =begin{bmatrix}2_1+5_2\1_1+3*2end{bmatrix} =begin{bmatrix}12\7end{bmatrix}

Ax is a combination of the columns of A .

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